Question

設(shè)函數(shù)f(x)=lg

a-x

1+x

，其中a為實常數(shù)．
（1）設(shè)a=1，請指出函數(shù)y=f（x）的圖象；（在答題卡上寫出圖象的代號A，B，C或D）
（2）設(shè)a＞-1，試研究函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先求出當(dāng)a=1時函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，然后判定其圖象；
（2）因為函數(shù)f（x）的定義域是（-1，a），所以，當(dāng)a≠1時，函數(shù)f（x）非奇非偶，a=1時用定義進行判定即可，任取x₁，x₂∈（-1，a），且x₁＜x₂，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符號，根據(jù)單調(diào)性的定義可判定．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時，f(x)=lg

1-x

1+x

∴f(-x)=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f(x)，
即該函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)觀察可選C …（4分）
（2）當(dāng)且僅當(dāng)a=1時，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．…（1分）
證：因為函數(shù)f（x）的定義域是（-1，a），所以，當(dāng)a≠1時，函數(shù)f（x）非奇非偶；…（1分）
當(dāng)a=1時，f(-x)=lg

1+x

1-x

=-lg

1-x

1+x

=-f(x)，
所以，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．…（2分）f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)．      …（1分）
任取x₁，x₂∈（-1，a），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=lg

a-x1

1+x1

-lg

a-x2

1+x2

，∵

a-x1

1+x1

-

a-x2

1+x2

=

(a+1)(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，∴

a-x1

1+x1

＞

a-x2

1+x2

，
由函數(shù)y=lgx是單調(diào)遞增函數(shù)，有lg

a-x1

1+x1

＞lg

a-x2

1+x2

，即f（x₁）＞f（x₂），
所以，f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)．    …（3分）

點評：本題主要考查了對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判定，屬于中檔題．