Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線的斜率為，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由橢圓的離心率可得出，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得出和的值，由此可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由求出的范圍，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式計(jì)算出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的高，然后利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求出該三角形面積的最大值.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，.

則橢圓的方程可化為，

將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程得，可得，，

因此，橢圓的方程為；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去，整理得，，得.

由韋達(dá)定理得，.

則，

直線的一般方程為，點(diǎn)到直線的距離為，

所以，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

因此，面積的最大值為.