Question

下列命題：
（1）函數(shù)f（x）=cos⁴x-sin⁴x的最小正周期是π；
（2）已知向量

a

=(λ，1)，

b

=(-1，λ2)，

c

=(-1，1)，則(

a

+

b

)∥

c

的充要條件是λ=-1；
（3）若

∫

a 1

1

x

dx=1，(a＞1)，則a=e．
其中所有的真命題是（　�。�

A．（3）

B．（1）（2）

C．（2）（3）

D．（1）（3）

Answer 1

分析：（1）利用半角公式對函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，再利用周期公式求出周期；
（2）根據(jù)向量平行的條件可得（

a

+

b

）=m

c

，可以求出λ的值；
（3）利用定積分公式，找出原函數(shù)謀求出a的值；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos⁴x-sin⁴=（cos²x-sin²x）（cos²x+sin²x）=（cos²x-sin²x）=cos2x，
∴T=

2π

2

=π，f（x）的最小正周期是π，故（1）正確；
（2）∵已知向量

a

=(λ，1)，

b

=(-1，λ2)，

c

=(-1，1)，要使(

a

+

b

)∥

c

，可得（

a

+

b

）=m

c

，
∵（

a

+

b

）=（λ-1，1+λ²），代入得

λ-1

1+λ2

=-1，解得λ=0或-1，
故（2）錯(cuò)誤；
（3）

∫

a 1

1

x

dx=

lnx|

a 1

=lna-ln1=lna=1，可得a=e；
故（3）正確；
故選D；

點(diǎn)評：此題考查三角函數(shù)的化簡，向量共線的條件以及定積分計(jì)算，考察的知識(shí)點(diǎn)比較多，但都比較基礎(chǔ)！