Question

2005北京高考如圖，在直三棱柱ABC?A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D是AB的中點.

(1)求證AC⊥BC₁;

(2)求證AC₁∥平面CDB₁；

(3)求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值.

Answer 1

解析(1)∵直三棱柱ABC—A₁B₁C₁底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC⊥BC.∵BC₁在平面ABC內的射影為BC，

∴AC⊥BC₁.

(2)設CB₁與C₁B的交點為E，連結DE(如圖)

∵D是AB的中點，E是BC₁的中點，

∴DE∥AC₁.

∵DE平面CDB₁，

AC₁平面CDB₁.

∴AC₁∥平面CDB₁.

(3)∵DE∥AC₁，

∴∠CED為AC₁與B₁C所成的角.

在△CED中，ED=，CD=，

CE=，

∴cos∠CED=.

∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為.