Question

設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函數f(x)=

3

2

-

2

2x+ 2

圖象上任意兩點，且x₁+x₂=1．
（Ⅰ）求y₁+y₂的值；
（Ⅱ）若Tn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)（其中n∈N^*），求T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設an=

2

Tn

（n∈N^*），若不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞

1

2

loga(1-2a)對任意的正整數n恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在x₁+x₂=1的條件下，代入表達式化簡即可求得y₁+y₂的值；
（Ⅱ）用（Ⅰ）結論易求2T_n的值，從而得到T_n的值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可把不等式表示出來，不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞

1

2

loga(1-2a)對任意的正整數n恒成立，該問題可轉化關于n的函數的最值問題，構造函數，借助函數單調性易求最值，從而問題得以解決；

解答：解：（Ⅰ）y₁+y₂=

3

2

-

2

2x1+ 2

+

3

2

-

2

2x2+ 2

=3-(

2

2x1+ 2

+

2

2x2+ 2

)=3-

4+ 2 (2x1+2x2)

2x1+x2+ 2 (2x1+2x2)+2

=3-

4+ 2 (2x1+2x2)

2+ 2 (2x1+2x2)+2

=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，當x₁+x₂=1時，y₁+y₂=2，
由Tn=f(0)+f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n

n

)①，得Tn=f(

n

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)+f(0)②，
①+②得，2Tn=[f(0)+f(

n

n

)]+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+…+[f(

n

n

)+f(0)]=2(n+1)，
∴T_n=n+1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，an=

2

Tn

=

2

n+1

，
不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞

1

2

loga(1-2a)即為

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)，
設H_n=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，則 H_n+1=

2

n+2

+

2

n+3

+…+

2

2n

+

2

2n+1

+

2

2n+2

，
∴Hn+1-Hn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
∴數列{H_n}是單調遞增數列，∴（H_n）_min=T₁=1，
要使不等式恒成立，只需

1

2

loga(1-2a)＜1，即loga(1-2a)＜logaa2，
∴

0＜a＜1 1-2a＞0 1-2a＞a2

或

a＞1 1-2a＞0 1-2a＜a2

，解得0＜a＜

2

-1．
故使不等式對于任意正整數n恒成立的a的取值范圍是(0，

2

-1)．

點評：本題考查數列與函數、數列與不等式的綜合問題，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度大．