Question

如圖,在棱長為a的正方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,M、O、O₁分別是A₁B、AC、A₁C₁的中點,且OH⊥O₁B,垂足為H.

(1)求證:MO∥平面BB₁C₁C;

(2)分別求MO與OH的長;

(3)MO與OH是否為異面直線A₁B與AC的公垂線?為什么?求這兩條異面直線間的距離.

Answer 1

(1)證明:連結(jié)B₁C,

    ∵MO是△AB₁C的中位線,

    ∴MO∥B₁C.

    ∵B₁C平面BB₁C₁C,∴MO∥平面BB₁C₁C.

(2)解:MO=B₁C=a,

    ∵OH是Rt△BOO₁斜邊上的高,

    BO=a,

    ∴OH=a.

(3)解:MO不是A₁B與AC的公垂線,MO∥B₁C,△AB₁C為正三角形,

    ∴MO與AC成60°角.

    ∵AC⊥BD,AC⊥OO₁,

    ∴AC⊥面BOO₁.

    ∵OH面BOO₁,

    ∴OH⊥AC,OH⊥A₁C₁.

    ∵OH⊥O₁B,A₁C₁∩O₁B=O₁,

    ∴OH⊥面BA₁C₁,OH⊥A₁B.

    ∴OH是異面直線A₁B與AC的公垂線,其長度即為這兩條異面直線的距離.