Question

如圖，已知點(diǎn)A（4，8），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在拋物線y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合，M為 BC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求該拋物線的方程和焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求BC所在直線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將點(diǎn)A（4，8）代入拋物線y²=2px，解得p=8，求出方程及焦點(diǎn)．
（Ⅱ）利用重心的定義，得出M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-4），再利用差分法求BC所在直線的方程．
解答：解：（Ⅰ）由點(diǎn)A（4，8），在拋物線y²=2px上解得p=8，
∴拋物線的方程為y²=16x，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)（4，0）
（Ⅱ）∵△ABC的重心與此拋物線的焦點(diǎn)F重合
由B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）得：
∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=-8，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-4）
由B，C在拋物線y²=16x上，兩方程作差y₁²-y₂²=16（x₁-x₂）
∴直線BC的斜率
∴BC所在直線的方程為y+4=-2（x-4），即2x+y-4=0
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線方程求解．若知弦中點(diǎn)求弦所在直線方程時(shí)常用“差分法”求解．