Question

【題目】已知點(diǎn)，直線為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，且.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與分別交軌跡于四點(diǎn).求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） (2)

【解析】

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，由展開計(jì)算得到的關(guān)系式即可；(2)當(dāng)直線的斜率不存在（或者為0）時(shí)，可求出四點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到；當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)為，直線的方程為，與軌跡的方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得到+的表達(dá)式，然后利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)可求出的取值范圍。

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，

由，則，

所以，

化簡(jiǎn)得.

故點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸，

可設(shè)，

，

當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，軸，同理得，

當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)為，則直線的方程為：，

設(shè)，由得:

，

則

所以，

則，

直線的方程為：，

同理可得：，

所以

令，則

，

，

由，得；，得；

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

，

又，故.

綜上所述，的取值范圍是.