Question

定義在的三個函數f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx , ，且g(x)在為增函數，h(x)在（0，1）為減函數.

（I）求g(x)，h(x)的表達式；

（II）求證：當x>1時，恒有;

（III）把h(x)對應的曲線向上平移6個單位后得曲線，求與g(x)對應曲線的交點個數，并說明道理.

Answer 1

（I）由題意：

∴恒成立.

又恒成立.

∴即

（Ⅱ）要證：

記

當x>1時，

即

∴結論成立

（Ⅲ）由 （1）知：

∴對應表達式為

∴問題轉化成求函數

即求方程：

即：

設

∴當時，為減函數.

當時，為增函數.

而的圖象開口向下的拋物線

∴與的大致圖象如圖：

∴與的交點個數為2個.

即與的交點個數為2個.