Question

為加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計(jì)劃用若干年時(shí)間更換一萬(wàn)輛燃油型公交車，每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，替換車為電力型和混合動(dòng)力型車，今年初投入了電力型公交車128輛，混合動(dòng)力型公交車400輛；計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動(dòng)車型車每年比上一年多投入a輛．
（1）求經(jīng)過(guò)n年，該市被更換的公交車總數(shù)S（n）；
（2）若該市計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量，依題意，{a_n}是首項(xiàng)為128，公比為1+50%=

3

2

的等比數(shù)列，{b_n}是首項(xiàng)為400，公差為a的等差數(shù)列，由此可求出經(jīng)過(guò)n年，該市被更換的公交車總數(shù)S（n）．
（2）若計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換，所以S（7）≥10000所以256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000．由此能求出a的最小值．

解答：解：（1）設(shè)a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動(dòng)力型公交車的數(shù)量，
依題意，{a_n}是首項(xiàng)為128，公比為1+50%=

3

2

的等比數(shù)列，{b_n}是首項(xiàng)為400，公差為a的等差數(shù)列，{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

128×[1-( 3 2 )n]

1- 3 2

=256[(

3

2

)n-1].{b_n}的前n項(xiàng)和Tn=400n+

n(n-1)

2

a
所以經(jīng)過(guò)n年，該市更換的公交車總數(shù)為：S(n)=Sn+Tn=256[(

3

2

)n-1]+400n+

n(n-1)

2

a.（7分）
（2）若計(jì)劃7年內(nèi)完成全部更換，
所以S（7）≥10000
所以256[(

3

2

)7-1]+400×7+

7×6

2

a≥10000
即21a≥3082，所以a≥146

16

21

又a∈N^*，所以a的最小值為147．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，挖掘數(shù)量間的相互關(guān)系，合理地建立方程，仔細(xì)求解．