Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）當(dāng)x＜1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-1，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值；
（Ⅲ）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上？

Answer 1

【答案】分析：（I）先求出導(dǎo)數(shù)等于零的值，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性，判定極值點(diǎn)，代入原函數(shù)，求出極值即可；
（II）根據(jù)（I）可知f（x）在[-1，1）上的最大值為2．當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=alnx．當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0，f（x）最大值為0；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增．當(dāng)a≤2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，e]上的最大值為2；當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，e]上的最大值為a．
（II）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q滿足題設(shè)要求，則點(diǎn)P、Q只能在y軸兩側(cè)．設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），顯然t≠1．由此入手能得到對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P、Q，使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x³+x²，f'（x）=-3x²+2x
令f′（x）=0得x=0或x=
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)0＜x時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＜0
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極小值f（0）=0
當(dāng)x=時(shí)，f（x）取得極大值f（）=
（Ⅱ）①由（1）知當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）在x=處取得極大值．
又f（-1）=2，f（1）=0，所以f（x）在[-1，1）上的最大值為2．（4分）
②當(dāng)1≤x≤e時(shí)，f（x）=alnx，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0；當(dāng)a＞0時(shí)，
f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，所以f（x）在[1，e]上的最大值為a．
所以當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為a；
當(dāng)a＜2時(shí)，f（x）在[-1，e]上的最大值為2．（8分）
（Ⅲ）假設(shè)曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，使得POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
則P，Q只能在y軸的兩側(cè)，不妨設(shè)P（t，f（t））（t＞0），則Q（-t，t³+t²），且t≠1．
因?yàn)椤鱌OQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以=0，
即：-t²+f（t）•（t³+t²）=0（1）…（10分）
是否存在點(diǎn)P，Q等價(jià)于方程（1）是否有解．
若0＜t＜1，則f（t）=-t³+t²，代入方程（1）得：t⁴-t²+1=0，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
若t≥1，則f（t）=alnt，代入方程（1）得到：=（t+1）lnt，（12分）
設(shè)h（x）=（x+1）lnx（x≥1），則h'（x）=lnx++1＞0在[1，+∞）上恒成立．
所以h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而h（x）≥h（1）=0，
所以當(dāng)a＞0時(shí)，方程=（t+1）lnt有解，即方程（1）有解．
所以，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a，曲線y=f（x）上存在兩點(diǎn)P，Q，
使得POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．解答關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．