Question

如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EF

∥ .

.

1

2

BC．
（I）證明FO∥平面CDE；
（II）設BC=

3

CD，證明EO⊥平面CDF．

Answer 1

分析：（I）要證明FO∥平面CDE，在平面CDE中：取CD中點M，連接OM．證明FO∥EM即可；
（II）證明EO⊥平面CDF，只需證明EO⊥FM，CD⊥EO，即可證明結論．

解答：解：（I）證明：取CD中點M，連接OM．EM．
在矩形ABCD中，OM

∥ .

.

1

2

BC，又EF

∥ .

.

1

2

BC，
則EF

∥ .

.

OM．連接EM，于是
四邊形EFOM為平行四邊形．
∴FO∥EM．
又因為FO不在平面CDE，且EM?平面CDE，
∴FO∥平面CDE．

（II）證明：連接FM．由（I）和已知條件，在等邊△CDE中，
CM=DM，EM⊥CD且EM=

3

2

CD=

1

2

BC=EF．
因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM．
∵CD⊥OM，CD⊥EM，
∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO．
而FM∩CD=M，
所以EO⊥平面CDF．

點評：本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力．