Question

已知函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正實(shí)數(shù)），且函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等．
（1）求a的值；
（2）對(duì)于函數(shù)F（x）及其定義域D，若存在x∈D，使F（x）=x成立，則稱x為F（x）的不動(dòng)點(diǎn)．若f（x）+g（x）+b在其定義域內(nèi)存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若n為正整數(shù)，證明：．
（參考數(shù)據(jù)：lg3=0.3010，，，）

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，結(jié)合函數(shù)f（x）=|x-a|，g（x）=x²+2ax+1（a為正常數(shù)），我們可以構(gòu)造關(guān)于a的方程，解方程可以求出a的值；
（2）確定函數(shù)解析式，利用不動(dòng)點(diǎn)的定義，可得實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）由于n為正整數(shù)，因此當(dāng)1≤n≤3時(shí)，G（n）單調(diào)遞增；當(dāng)n≥4時(shí)，G（n）單調(diào)遞減，可得G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}，從而不等式得到證明．
解答：（1）解：∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象在y軸上的截距相等，∴f（0）=g（0），即|a|=1．
又a＞0，∴a=1．                      …（2分）
（2）解：由（1）知，．
當(dāng)x≥1時(shí)，若f（x）+g（x）+b存在不動(dòng)點(diǎn)，則有x²+3x+b=x，即b=-x²-2x=-（x+1）²+1．                   …（3分）
∵x≥1，∴-（x+1）²+1≤-3，此時(shí)b≤-3．       …（4分）
當(dāng)x＜1時(shí)，若f（x）+g（x）+b存在不動(dòng)點(diǎn)，則有x²+x+2+b=x，即b=-x²-2…（5分）
∵x＜1，∴-x²-2≤-2，此時(shí)b≤-2．            …（6分）
故要使得f（x）+g（x）+b在其定義域內(nèi)存在不動(dòng)點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍應(yīng)為（-∞，-2]．  …（7分）
（3）證明：設(shè)．
因?yàn)閚為正整數(shù)，
∴．                    …（8分）
∴．     …（9分）
當(dāng)時(shí)，，即，亦即，∴．                        …（11分）
由于n為正整數(shù)，因此當(dāng)1≤n≤3時(shí)，G（n）單調(diào)遞增；當(dāng)n≥4時(shí)，G（n）單調(diào)遞減．
∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．                      …（12分）
又，，
…（13分）
∴G（n）≤G（4）＜4．                            …（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．