Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
（1）證明PA∥平面EDB；
（2）證明PB⊥平面EFD；
（3）求二面角C-PB-D的大�。�

Answer 1

【答案】分析：法一：（1）連接AC，AC交BD于O，連接EO要證明PA∥平面EDB，只需證明直線PA平行平面EDB內(nèi)的直線EO；
（2）要證明PB⊥平面EFD，只需證明PB垂直平面EFD內(nèi)的兩條相交直線DE、EF，即可；
（3）必須說明∠EFD是二面角C-PB-D的平面角，然后求二面角C-PB-D的大小．
法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=a．
（1）連接AC，AC交BD于G，連接EG，求出，即可證明PA∥平面EDB；
（2）證明EF⊥PB，，即可證明PB⊥平面EFD；
（3）求出，利用，求二面角C-PB-D的大�。�
解答：解：方法一：
（1）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點
在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，
所以，PA∥平面EDB

（2）證明：
∵PD⊥底面ABCD且DC?底面ABCD，∴PD⊥DC
∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，
∴DE⊥PC．①
同樣由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．
而DE?平面PDC，∴BC⊥DE．②
由①和②推得DE⊥平面PBC．
而PB?平面PBC，∴DE⊥PB
又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．
由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．
設正方形ABCD的邊長為a，
則，．
在Rt△PDB中，．
在Rt△EFD中，，∴．
所以，二面角C-PB-D的大小為．
方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點，設DC=a．
（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG．
依題意得．
∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為且．
∴，這表明PA∥EG．
而EG?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．

（2）證明；依題意得B（a，a，0），．
又，故．
∴PB⊥DE．
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．

（3）解：設點F的坐標為（x，y，z），，則（x，y，z-a）=λ（a，a，-a）．
從而x=λa，y=λa，z=（1-λ）a．所以．
由條件EF⊥PB知，，即，解得
∴點F的坐標為，且，
∴
即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角．
∵，且，，
∴．
∴．
所以，二面角C-PB-D的大小為．
點評：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力．