Question

（2006•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=mx³+nx²（m、n∈R，m≠0），函數(shù)y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線與x軸平行．
（1）用關(guān)于m的代數(shù)式表示n；
（2）當(dāng)m=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，又根據(jù)f′（2）=0可得到關(guān)于m的代數(shù)式；
（2）若m=1，則n=-3，得到f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）＞0或f'（x）＜0，解出x，即可得到函數(shù)增減區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=mx³+nx²，
∴f'（x）=3mx²+2nx
由已知條件得：f'（2）=0
∴3m+n=0  
∴n=-3m
（2）若m=1，則n=-3
∴f（x）=x³-3x²，
∴f'（x）=3x²-6x，
令f'（x）＞0，∴x＜0或x＞2．         
令f'（x）＜0，得0＜x＜2
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）．

點評：本題主要考查通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)增減區(qū)間的問題．