Question

設(shè)數(shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足：a₁=4，a₂=

5

2

，an+1=

an+bn

2

，bn+1=

2anbn

an+bn

．?
（1）用a_n表示a_n+1；并證明：?n∈N₊，a_n＞2；?
（2）證明：{ln

an+2

an-2

}是等比數(shù)列；?
（3）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，當(dāng)n≥2時(shí)，S_n與2(n+

4

3

)是否有確定的大小關(guān)系？若有，加以證明；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可分別求得a₁和a₂，進(jìn)而求得b₁，整理把an+1=

an+bn

2

代入bn+1=

2anbn

an+bn

整理得a_n+1b_n+1=a_nb_n═a₁b₁=4推斷出bn=

4

an

代入an+1=

an+bn

2

中求得a_n和a_n+1的遞推式，根據(jù)均值不等式可知

an

2

+

2

an

＞2，進(jìn)而可知a_n+1＞2進(jìn)而推斷出?n∈N₊，a_n＞2
（2）根據(jù)（1）中結(jié)論可求得a_n+1+2，a_n+1-2的表達(dá)式，進(jìn)而可求得ln

an+1+2

an+1-2

=2ln

an+2

an-2

，判斷出所以{ln

an+2

an-2

}是等比數(shù)列．
（3）由（2）可求得數(shù)列{ln

an+2

an-2

}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得a_n，設(shè)Cn=

4

32n-1

，根據(jù)

4

(32n-2)(32n-2)

＜

1

4

Cn-1進(jìn)而判斷出
Cn＜

1

4

Cn-1＜(

1

4

)2Cn-2＜…＜(

1

4

)n-1C1=2(

1

4

)n-1可推斷出an＜2+2(

1

4

)n-1，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式求得S_n=2n+2+

2

3

(1-

1

4n-1

)＜2n+

8

3

．

解答：解：（1）由已知得a₁=4，a₂=

5

2

，所以b₁=1故a_n+1b_n+1=a_nb_n═a₁b₁=4；
由已知：a_n＞0，a₁＞2，a₂＞2，bn=

4

an

∴an+1=

an

2

+

2

an

，
由均值不等式得a_n+1＞2
故??n∈N₊，a_n＞2

（2）

an+1+2

an+1-2

=(

an+2

an-2

)2，an+1+2=

(an+2)2

2an

，
an+1-2=

(an-2)2

2an

所以ln

an+1+2

an+1-2

=2ln

an+2

an-2

，所以{ln

an+2

an-2

}是等比數(shù)列

（3）由（2）可知ln

an+2

an-2

=(ln3)×2n-1=ln32n-1∴an=

32n-1+1

32n-1-1

設(shè)Cn=

4

32n-1

=

4

(32n-2)(32n-2)

＜

1

4

Cn-1，（n≥2）
?Cn＜

1

4

Cn-1＜(

1

4

)2Cn-2＜＜(

1

4

)n-1C1=2(

1

4

)n-1
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＜2+2(

1

4

)n-1
?Sn=a1+a2++an＜4+2(n-1)+2[

1

4

+(

1

4

)2++(

1

4

)n-1]
=2n+2+2×

1 4 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

=2n+2+

2

3

(1-

1

4n-1

)＜2n+

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和基本的運(yùn)算能力．