Question

設(shè)函數(shù)f(x)=x2-aln(2x+1)(x∈(-

1

2

，1)，a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）函數(shù)f（x）是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值時(shí)x的值，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由于函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，故導(dǎo)數(shù)小于等于0恒成立，由此不等式即可求出參數(shù)a的范圍；
（2）在函數(shù)的定義域上研究其單調(diào)性，判斷最值是否存在即可，可以先研究函數(shù)的極值，再比較極值與定義域區(qū)間點(diǎn)的大小，看最小值是否存在．

解答：解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'（x）=2x-

2a

2x+1

=

2(2x2+x-a)

2x+1

∵函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是減函數(shù)
∴f'（x）≤0在x∈(-

1

2

，1)上恒成立
又∵x∈(-

1

2

，1)時(shí)，2x+1＞0
∴不等式2x²+x-a≤0在x∈(-

1

2

，1)上恒成立，即a≥2x²+x在x∈(-

1

2

，1)上恒成立
令g（x）=2x²+x，x∈(-

1

2

，1)，則g（x）_max=g（1）=3∴a≥3
（2）∵f'（x）=

2(2x2+x-a)

2x+1

，令f'（x）=0
解得x1=

-1- 1+8a

4

，x2=

-1+ 1+8a

4

由于a＞0，-

1

2

-x1=

1+8a -1

4

＞0，x2-(-

1

2

) =

1+8a +1

4

＞0
∴x1＜-

1

2

＜x2，
①當(dāng)x2=

-1+ 1+8a

4

＜1即0＜a＜3時(shí)，在(-

1

2

，x2)上f′（x）＜0；在（x₂，1）上f′（x）＞0，
∴當(dāng)x=

-1+ 1+8a

4

時(shí)，函數(shù)f（x）在(-

1

2

，1)上取最小值．
②當(dāng)x2=

-1+ 1+8a

4

即a≥3時(shí)，在[-

1

2

，1]上f′（x）≤0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）在[-

1

2

，1]上取最小值．
由①②可知，當(dāng)0＜a＜3時(shí)，函數(shù)f（x）在x=

-1+ 1+8a

4

時(shí)取最小值；
當(dāng)a≥3時(shí)，函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取最小值．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，綜合考查了用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及依據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值的規(guī)則步驟，綜合性較強(qiáng)，知識(shí)性較強(qiáng)．用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一很好的方法，做題時(shí)要注意靈活選用．