Question

如圖所示，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.

(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點(diǎn)B，P的坐標(biāo)；

(2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值；

(3)若PB的中點(diǎn)為M，求證：平面AMC⊥平面PBC.

 

Answer 1

【答案】

(1)如圖所示，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz.

∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，

∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)，

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角，

∴∠PAD＝60°.

在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2，

∴P(0,0,2)．

(2)∵＝(2,0，－2)，

＝(－2，－3,0)，

∴cos<，>＝

＝－，

所以PA與BC所成角的余弦值為

(3)證明：∵M(jìn)為PB的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2，)，

∴＝(－1,2，)，＝(1,1，)，

＝(2,4，－2)，

∵·＝(－1)×2＋2×4＋×(－2)＝0，

·＝1×2＋1×4＋×(－2)＝0，

∴⊥，⊥，∴PB⊥平面AMC

∵PB⊂平面PBC

∴平面AMC⊥平面PBC .   

【解析】略