Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4，∠ADE的余弦值為

4

5

．
（1）若F為DE的中點(diǎn)，求證：BE∥平面ACF；
（2）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）連接AC，BD交于O，連OF，則OF為△DEB的中位線，通過OF∥BE證明BE∥平面ACF；
（2）過E作EH⊥AD于H，通過AE⊥CD，CD⊥AD證出CD⊥平面DAE后，得出CD⊥EH，結(jié)合EH⊥AD可以得到EH⊥平面ABCD，BH為BE在平面ABCD內(nèi)的射影，∠EBH為所求角．在RT△EHB中求解即可．

解答：解：（1）證明：連接AC，BD交于O，連OF
∵F為DE中點(diǎn)，O為BD中點(diǎn)，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（2）過E作EH⊥AD于H，連接BH，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD、AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，
AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，BH為BE在平面ABCD內(nèi)的射影，
∴∠EBH為BE與平面ABCD的所成角的平面角，
在RT△EHB，由勾股定理得底面ABCD的邊長AD=5．
又∵CD∥AB，∴AB⊥平面DAE，∴△ABE為直角三角形，∴BE=

BA2+AE2

=

25+9

，
∴BE=

34

，且HE=

EA•ED

AD

=

12

5

，
在RT△EHB中，sin∠EBH=

HE

BE

=

12 5

34

=

6 34

85

．
直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為

6 34

85

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面平行關(guān)系的判定，直線和平面所成角的計(jì)算．考查考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、推理論證能力．