Question

已知f（x）=sinxcosx+cos²x-

1

2

．
（1）求f（x）的對稱軸方程；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象按向量a平移后得到函數(shù)g（x）的圖象，若y=g（x）的圖象關(guān)于點(

π

2

，0)對稱，求|a|的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)的表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的對稱軸方程，直接求f（x）的對稱軸方程；
（2）設(shè)出向量

a

，求出平移后得到函數(shù)g（x）的解析式，利用y=g（x）的圖象關(guān)于點(

π

2

，0)對稱，求出關(guān)于向量

a

中字母的表達(dá)式，然后求出|a|的最小值．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

(sin2x+cos2x)
=

2

2

sin(2x+

π

4

)（3分）
由2x+

π

4

=kπ+

π

2

得x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z
∴f（x）的對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

8

，k∈Z．（7分）
（2）由題意可設(shè)

a

=（m，0）則g(x)=

2

2

sin(2x-2m+

π

4

)（9分）
又因為g（x）的圖象關(guān)于點(

π

2

，0)對稱，則有

2

2

sin(π+

π

4

-2m)=0，（11分）
即

5π

4

-2m=kπ，
∴m=

5π

8

-

kπ

2

，k∈Z．
∴|a|=|

5π

8

-

kπ

2

|，k∈Z
所以當(dāng)k=1時，∴|a|min=

π

8

．（14分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡，兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)圖象的變換，基本函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．