Question

【題目】如圖，在中，，，，E，F分別為，的中點(diǎn),是由繞直線旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，，.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為60°，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）要證平面，則證和；證由平面幾何知識(shí)可得，證，只需證，即證平面，利用線面垂直判定可得.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)與平面所成的角為60°，可知為等邊三角形，分別計(jì)算平面、平面的一個(gè)法向量，然后根據(jù)向量的夾角公式，可得結(jié)果.

解法一：

（1）因?yàn)?/span>由沿旋轉(zhuǎn)得到，且E為中點(diǎn)，

所以.所以

又因?yàn)?/span>F為的中點(diǎn)，所以，

又，所以，

從而，又，所以平面，

即平面，又平面，所以，

又且，所以平面

（2）由（1）得平面，因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面

過(guò)點(diǎn)P作，交于M

又平面平面，故平面，

所以為與平面所成的角，

所以，

又，所以為等邊三角形，

得M為中點(diǎn)，由平面，

分別以，為x，y軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

，，

易得平面的一個(gè)法向量為，

，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則：

，即，

令，得，

又因?yàn)槎�面�?/span>的大小為鈍角，

故二面角的余弦值為

解法二：

（1）因?yàn)?/span>由沿旋轉(zhuǎn)得到，所以，

又因?yàn)?/span>E為的中點(diǎn)，所以.

所以，即，

同理，，得，

又，所以平面

（2）由（1）得，又，

所以平面，又因?yàn)?/span>平面，

所以平面平面.

過(guò)點(diǎn)P作，垂足為M，

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以平面，

所以為與平面所成的角，所以，

因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，所以M為中點(diǎn)，

取的中點(diǎn)N，連接，所以，所以平面，

分別以，，為x，y，z軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

，，，，

，，

易得平面的一個(gè)法向量為，

，

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則：

，即，

令，得，

又因?yàn)槎�面�?/span>的大小為鈍角，

故二面角的余弦值為