Question

已知x₁是方程10^x=-x-2的解，x₂是方程lgx=-x-2的解，函數f（x）=（x-x₁）（x-x₂），則（　　）

A．f（0）＜f（2）＜f（3）

B．f（2）=f（0）＜f（3）

C．f（3）＜f（0）=f（2）

D．f（0）＜f（3）＜f（2）

Answer 1

分析：設l：y=-x-2，設l與y=10^x，y=lgx分別相交于A，B兩點，利用y=10^x與y=lgx互為反函數可得AB的中點在y=x上，從而可求得x₁+x₂的值，從而可知f（x）=（x-x₁）（x-x₂）的對稱軸，再利用其單調性即可得到答案．

解答：解：設直線l的方程為：y=-x-2，設l與y=10^x，y=lgx分別相交于A，B兩點，
∵y=10^x與y=lgx互為反函數，
∴它們的圖象關于直線y=x對稱，
由題意得：點A（x₁，-x₁-2）與點B（x₂，-x₂-2）關于直線y=x對稱，
∴AB的中點在直線y=x上，
∴

-x1-2-x2-2

2

=

x1+x2

2

，
即-x₁-2-x₂-2=x₁+x₂，
∴x₁+x₂=-2，
∴f（x）=（x-x₁）（x-x₂）=x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂=x²-2x+x₁x₂，
其對稱軸方程為：x=-1，
∴f（x）在[-1，+∞）上單調遞增，
∴f（0）＜f（2）＜f（3），
故選A．

點評：本題考查對數函數與指數函數的圖象與性質，考查反函數的應用，考查二次函數的性質，屬于難題．