Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=-

7x

x2+x+1

．
（1）求當x＜0時f（x）的解析式；
（2）試確定函數(shù)f（x）（x≥0）的單調(diào)區(qū)間，并證明你的結(jié)論；
（3）若x₁≥2，x₂≥2且x₁≠x₂，證明：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

Answer 1

分析：（1）直接設(shè)x＜0，則-x＞0，再利用f（x）=f（-x）即可得x＜0時f（x）的解析式；
（2）先求出其導函數(shù)，再利用導函數(shù)值的正負和原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求出函數(shù)f（x）（x≥0）的單調(diào)區(qū)間；
（3）利用（2）的結(jié)論得當x≥2時，有0＞f（x）≥f（2）=-2；所以有當x₁，x₂≥2時，得-2＜f（x₁）＜0且-2＜f（x₂）＜0，即0＜-f（x₂）＜2，整理后即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）若x＜0，則-x＞0，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=f（-x）=

7x

x2-x+1

（x＜0）（3分）
（2）當x≥0時，f'（x）=

7(x+1)(x-1)

(x2+x+1)2

．（6分）
顯然當0＜x＜1時，f'（x）＜0；
當x＞1時，f'（x）＞0，又f（x）在x=0和x=1處連續(xù)，
∴函數(shù)f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，在[1，+∞）上為增函數(shù)．（8分）
（3）證明：∵函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，且f（x）＜0，
∴當x≥2時，有0＞f（x）≥f（2）=-2．（10分）
又當x₁，x₂≥2時，得-2＜f（x₁）＜0且-2＜f（x₂）＜0，即0＜-f（x₂）＜2
∴-2＜f（x₁）-f（x₂）＜2即得：|f（x₁）-f（x₂）|＜2．（12分）

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合以及利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是對函數(shù)性質(zhì)的綜合考查，屬于中檔題．