Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右準線l的方程為x=

4 3

3

，短軸長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過定點B（1，0）作直線l與橢圓C相交于P，Q（異于A₁，A₂）兩點，設直線PA₁與直線QA₂相交于點M（2x₀，y₀）．
①試用x₀，y₀表示點P，Q的坐標；
②求證：點M始終在一條定直線上．

Answer 1

分析：（1）由題設條件能夠得到

a2=4 b2=1.

，由此可求出橢圓C的方程．
（2）A₁（-2，0），A₂（2，0），方程為MA₁的方程為：y=

y0

2x0+2

(x+2)，代入

x2

4

+y2=1，
得[

(x0+1)2

y02

+1] y2-

2(x0+1)

y0

y=0．P（

4(x0+1)2

(x0+1)2+y02

-2，

2(x0+1)y0

(x0+1)2+y02

）．同理可得Q（

-4(x0-1)2

(x0-1)2+y02

+2，

-2(x0-1)y0

(x0-1)2+y02

）．再由P，Q，B三點共線，知k_PB=k_QB，從而得到點M始終在定直線x=4上．

解答：解：（1）由

a2 c = 4 3 3 b=1 a2=b2+c2

得

a2=4 b2=1.

∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）A₁（-2，0），A₂（2，0），
方程為MA₁的方程為：y=

y0

2x0+2

(x+2)，即x=

2x0+2

y0

y-2．代入

x2

4

+y2=1，
得(

x0+1

y0

y-1)2+y2=1，即[

(x0+1)2

y02

+1]y2-

2(x0+1)

y0

y=0．
∴yP=

2(x0+1) y0

(x0+1)2 y02 +1

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2+y02

，
則xP=

2x0+2

y0

•

2(x0+1)y0

(x0+1)2+y02

-2=

4(x0+1)2

(x0+1)2+y02

-2．
即P（

4(x0+1)2

(x0+1)2+y02

-2，

2(x0+1)y0

(x0+1)2+y02

）．
同理MA₂的方程為y=

y0

2x0-2

(x-2)，即x=

2x0-2

y0

y+2．代入

x2

4

+y2=1，
得(

x0-1

y0

y+1)2+y2=1，即[

(x0-1)2

y02

+1]y2+

2(x0-1)

y0

y=0．
∴yQ=

- 2(x0-1) y0

(x0-1)2 y02 +1

=

-2(x0-1)y0

(x0-1)2+y02

．
則xQ=

2x0-2

y0

•

-2(x0-1)y0

(x0-1)2+y02

+2=

-4(x0-1)2

(x0-1)2+y02

+2．
即Q（

-4(x0-1)2

(x0-1)2+y02

+2，

-2(x0-1)y0

(x0-1)2+y02

）．
∵P，Q，B三點共線，
∴k_PB=k_QB，即

yP

xP-1

=

yQ

xQ-1

．
∴

2(x0+1)y0 (x0+1)2+y02

4(x0+1)2 (x0+1)2+y02 -2-1

=

-2(x0-1)y0 (x0-1)2+y02

-4(x0-1)2 (x0-1)2+y02 +2-1

．
即

(x0+1)y0

(x0+1)2-3y02

=

-(x0-1)y0

-3(x0-1)2+y02

．
由題意，y₀≠0，
∴

x0+1

(x0+1)2-3y02

=

x0-1

3(x0-1)2-y02

．
3（x₀+1）（x₀-1）²-（x₀+1）y₀²=（x₀-1）（x₀+1）²-3（x₀-1）y₀²．
∴（2x₀-4）（x₀²+y₀²-1）=0．則2x₀-4=0或x₀²+y₀²=1．
若x₀²+y₀²=1，即

(2x0)2

4

+y02=1，則P，Q，M為同一點，不合題意．
∴2x₀-4=0，點M始終在定直線x=2上．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意培養(yǎng)計算能力．