Question

已知雙曲線的離心率為e，右頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)E為右準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，∠AEF₂的最大值為θ．
（1）若雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁（-4，0），一條漸近線的方程為3x-2y=0，求雙曲線的方程；
（2）求sinθ（用e表示）；
（3）如圖，如果直線l與雙曲線的交點(diǎn)為P、Q，與兩條漸近線的交點(diǎn)為P'、Q'，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：．

Answer 1

解：（1）方法1
雙曲線的左焦點(diǎn)為F₁（-4，0），
設(shè)雙曲線的方程為，
則其漸近線的方程為，即．
又∵一條漸近線的方程是，
∴，得，．
故雙曲線的方程為．
方法2
∵雙曲線的一條漸近線是3x-2y=0，即，
∴可設(shè)雙曲線的方程為．
∵焦點(diǎn)是（-4，0），
∴由得4λ+9λ=16，
∴，
∴雙曲線的方程為．
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、F₂的圓C與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，交EF₂于點(diǎn)N．
∵∠AMF₂=∠ANF₂≥∠AEF₂（當(dāng)E與M重合時(shí)取“=”），
∴∠AMF₂=θ．
∵A（a，0），F(xiàn)₂（c，0），
∴，
又∵，
∴圓C的半徑．
由正弦定理得，
∴．
（3）證明：方法1
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=mx+n，
代入中得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²（n²+b²）=0．
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)為G（α，β），
則．
同理，將y=mx+n代入漸近線方程中，
得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²n²=0．
設(shè)P'（x'₁，y'₁），Q'（x'₂，y'₂），
線段P'Q'的中點(diǎn)為G'（α'，β'），
則=，
∴α=α'，即線段PQ與線段P'Q'有共同的中點(diǎn)．
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，即直線l垂直于x軸時(shí)，
由對(duì)稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點(diǎn)
．∴，即．
方法2
當(dāng)直線l的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，
即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時(shí)，
由對(duì)稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點(diǎn)，
∴|PP'|=|QQ'|．
當(dāng)直線l的斜率存在且不為零時(shí)，可設(shè)l：y=kx+m（k≠0）．
設(shè)PQ的中點(diǎn)為G（x₀，y₀），P'Q'的中點(diǎn)為G'（x'₀，y'₀），
則由點(diǎn)差法可得，
且，
∴點(diǎn)G、G'在直線l'：，
即上．
又∵點(diǎn)G、G'在直線l：y=kx+m上，
∴點(diǎn)G、G'同為直線l與l'的交點(diǎn)．
故點(diǎn)G、G'重合，
∴，
即．
分析：（1）方法1：設(shè)雙曲線的方程為，其漸近線的方程為．因?yàn)橐粭l漸近線的方程是，所以，由此能求出雙曲線的方程．
方法2：雙曲線的一條漸近線是3x-2y=0，設(shè)雙曲線的方程為．由焦點(diǎn)是（-4，0），得4λ+9λ=16，由此能求出雙曲線的方程．
（2）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A、F₂的圓C與準(zhǔn)線相切于點(diǎn)M，交EF₂于點(diǎn)N．由∠AMF₂=∠ANF₂≥∠AEF₂，知∠AMF₂=θ．由A（a，0），F(xiàn)₂（c，0），知，由此能求出sinθ（用e表示）．
（3）方法1：當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=mx+n，代入中得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²（n²+b²）=0．設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點(diǎn)為G（α，β），則．由此能證明．
方法2：當(dāng)直線l的斜率不存在或?yàn)榱銜r(shí)，即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時(shí)，由對(duì)稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點(diǎn)，所以|PP'|=|QQ'|．設(shè)l：y=kx+m（k≠0）．設(shè)PQ的中點(diǎn)為G（x₀，y₀），P'Q'的中點(diǎn)為G'（x'₀，y'₀），則由點(diǎn)差法可得，且，由此能夠證明．
點(diǎn)評(píng)：通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯(cuò)．