Question

函數(shù)f（x）=

ax+1

x+2

在區(qū)間（-2，+∞）上是遞增的，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：先將函數(shù)解析式進(jìn)行常數(shù)分離，然后利用增函數(shù)的定義建立關(guān)系，進(jìn)行通分化簡，判定每一個因子的符號，從而求出a的范圍．

解答：解：f（x）=

ax+1

x+2

=

a(x+2)+1-2a

x+2

=

1-2a

x+2

+a、
任取x₁，x₂∈（-2，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1-2a

x1+2

-

1-2a

x2+2

=

(1-2a)(x2-x1)

( x1+2)(x2+2)

．
∵函數(shù)f（x）=

ax+1

x+2

在區(qū)間（-2，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∵x₂-x₁＞0，x₁+2＞0，x₂+2＞0，
∴1-2a＜0，a＞

1

2

，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及利用單調(diào)性的定義進(jìn)行求解參數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．