Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)P(0,1)，Q(0,2)，設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對(duì)稱的不同兩點(diǎn)，直線PM與QN相交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T在橢圓C上．

 

Answer 1

(1)＝1 (2)見解析

【解析】(1)由題意知，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為圓心到切線的距離，即b＝＝.因?yàn)殡x心率e＝＝，所以＝＝.所以a＝2.

所以橢圓C的方程為＝1.

(2)由題意可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，則直線PM的方程為y＝x＋1，①

直線QN的方程為y＝x＋2.②

設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(x，y)，

聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝.

因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓C上，故＝1，

所以.整理得＝(2y－3)2，所以－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＝1.

所以點(diǎn)T的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程，即點(diǎn)T在橢圓C上．