Question

如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．
（1）求證：PC⊥AC；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的判定定理，證明PC⊥平面ABC，然后證明PC⊥AC．
（2）取BC的中點N，連MN，證明MN⊥平面ABC．作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連接MH，說明∠MHN為二面角M-AC-B的平面角．利用cos∠MHN=

NH

MH

，即可求出二面角M-AC-B的余弦值．

解答：（1）證明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，BC∩AB=B，
∴PC⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，∴PC⊥AC．
（2）解：取BC的中點N，連MN．
∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．
作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連接MH．
由三垂線定理得AC⊥MH，∴∠MHN為二面角M-AC-B的平面角．
∵直線AM與直線PC所成的角為60°，
∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．
在△ACN中，AN=

AC2+CN2-2AC•CN•cos120°

=

3

．在Rt△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=

3

cot60°=1．
在Rt△NCH中，NH=CN•sin∠NCH=1×sin60°=

3

2

．
在Rt△MNH中，∵MH=

MN2+NH2

=

7

2

，∴cos∠MHN=

NH

MH

=

21

7

．
故二面角M-AC-B的余弦值為

21

7

．

點評：本題考查直線與平面的垂直的判定定理的應用，二面角的求法，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．