Question

下列幾個命題：
①函數(shù)y=xln（x+1）-6的零點個數(shù)有且只有1個；
②函數(shù)y=log₂（-x+1）+2的圖象可由y=log₂（-x-1）-2的圖象向下平移4個單位，再向右平移2個單位得到；
③若關(guān)于x方程|x²-2x-3|=m有兩解，則m=0或m＞4．
④若函數(shù)f（x+1）是偶函數(shù)，則f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
其中正確的有

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：①中函數(shù)y=xln（x+1）-6的零點個數(shù)即方程ln(x+1)=

6

x

的根的個數(shù)，即為函數(shù)y=ln（x+1）和函數(shù)y=

6

x

的圖象交點個數(shù)，
②中圖象左右平移為左加右減，而上下平移為上加下減，
③中方程|x²-2x-3|=m有兩解可轉(zhuǎn)化為y=|x²-2x-3|和y=m的圖象有兩個交點，利用數(shù)形結(jié)合解決，
④中f（x+1）是偶函數(shù)，關(guān)于x軸對稱，向右平移一個單位即得f（x）的圖象，故f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．

解答：解：①中函數(shù)y=xln（x+1）-6的零點個數(shù)即方程ln(x+1)=

6

x

的根的個數(shù)，即為函數(shù)y=ln（x+1）和函數(shù)y=

6

x

的圖象交點個數(shù)，
兩個函數(shù)圖象有兩個交點，故①錯誤；
②中應(yīng)為向上平移4個單位；
③中方程|x²-2x-3|=m有兩解可轉(zhuǎn)化為y=|x²-2x-3|和y=m的圖象有兩個交點，由圖象可知命題正確；
④中f（x+1）是偶函數(shù)，關(guān)于x軸對稱，向右平移一個單位即得f（x）的圖象，故f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．命題正確．
故答案為：③④

點評：本題以命題真假判斷為載體考查函數(shù)零點、對稱性、圖象的變換、方程的根等知識，以及數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法，綜合性較強(qiáng)．