Question

已知函數(shù)f(x)=lg

2x

ax+b

，f(1)=0，當x＞0時，恒有f(x)-f(

1

x

)=lgx
（1）求f（x）的表達式；
（2）設(shè)不等式f（x）≤lgt的解集為A，且A⊆（0，4]，求實數(shù)t的取值范圍．
（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集為∅，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f(x)=lg

2x

ax+b

，f(1)=0，當x＞0時，恒有f(x)-f(

1

x

)=lgx，我們可以構(gòu)造一個關(guān)于a，b方程組，解方程組求出a，b值，進而得到f（x）的表達式；
（2）由（1）中函數(shù)f（x）的表達式，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，我們可將不等式f（x）≤lgt，轉(zhuǎn)化為一個分式不等式，由等式f（x）≤lgt的解集為A，且A⊆（0，4]，可以構(gòu)造出關(guān)于關(guān)于t的不等式，解不等式即可求出滿足條件的實數(shù)t的取值范圍．
（3）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可將方程f（x）=lg（8x+m），轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的分式方程組，進而根據(jù)方程f（x）=lg（8x+m）的解集為∅，則方程組至少一個方程無解，或兩個方程的解集的交集為空集，分類討論后，即可得到答案．

解答：解：（1）∵當x＞0時，f(x)-f(

1

x

)=lgx恒成立
∴lg

2x

ax+b

-lg

2

bx+a

=lgx，
即（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b（2分）
又f（1）=0，即a+b=2，從而a=b=1，
∴f(x)=lg

2x

1+x

（4分）
（2）由不等式f（x）≤lgt，
即lg

2x

1+x

≤lgt⇒

(2-t)x-t

1+x

≤0且

2x

1+x

＞0（6分）
由于解集A⊆（0，4]，故0＜t＜2，（7分）
所以A=(0，

t

2-t

]⊆(0，4]即

t

2-t

≤4⇒t≤

8

5

，（8分）
又因為0＜t＜2，所以實數(shù)t的取值范圍是(0，

8

5

]（10分）
（3）由lg

2x

1+x

=lg(8x+m)⇒

2x 1+x =8x+m 2x 1+x ＞0

⇒

8x2+(6+m)x+m=0 x＜-1或x＞0

（12分）
方程的解集為∅，故有兩種情況：
①方程8x²+（6+m）x+m=0無解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）
②方程8x²+（6+m）x+m=0有解，兩根均在[-1，0]內(nèi)，g（x）=8x²+（6+m）x+m
則

△≥0 g(-1)≥0 g(0)≥0 -1≤ -6-m 16 ≤0

⇒

m≤2或m≥18 -6≤m≤10

⇒0≤m≤2（17分）
綜合①②得實數(shù)m的取值范圍是0≤m＜18（18分）

點評：本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知構(gòu)造一個關(guān)于a，b方程組，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將已知中的不等式轉(zhuǎn)化為一個分式不等式，（3）的關(guān)鍵是利用對數(shù)的性質(zhì)，將已知的方程轉(zhuǎn)化為一個x的分式方程組．