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        1. 已知函數(shù)f(x)=lg
          2x
          ax+b
          ,f(1)=0
          ,當x>0時,恒有f(x)-f(
          1
          x
          )=lgx

          (1)求f(x)的表達式;
          (2)設(shè)不等式f(x)≤lgt的解集為A,且A⊆(0,4],求實數(shù)t的取值范圍.
          (3)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集為∅,求實數(shù)m的取值范圍.
          分析:(1)由已知中函數(shù)f(x)=lg
          2x
          ax+b
          ,f(1)=0
          ,當x>0時,恒有f(x)-f(
          1
          x
          )=lgx
          ,我們可以構(gòu)造一個關(guān)于a,b方程組,解方程組求出a,b值,進而得到f(x)的表達式;
          (2)由(1)中函數(shù)f(x)的表達式,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,我們可將不等式f(x)≤lgt,轉(zhuǎn)化為一個分式不等式,由等式f(x)≤lgt的解集為A,且A⊆(0,4],可以構(gòu)造出關(guān)于關(guān)于t的不等式,解不等式即可求出滿足條件的實數(shù)t的取值范圍.
          (3)根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì),可將方程f(x)=lg(8x+m),轉(zhuǎn)化為一個關(guān)于x的分式方程組,進而根據(jù)方程f(x)=lg(8x+m)的解集為∅,則方程組至少一個方程無解,或兩個方程的解集的交集為空集,分類討論后,即可得到答案.
          解答:解:(1)∵當x>0時,f(x)-f(
          1
          x
          )=lgx
          恒成立
          lg
          2x
          ax+b
          -lg
          2
          bx+a
          =lgx

          即(a-b)x2-(a-b)x=0恒成立,
          ∴a=b(2分)
          又f(1)=0,即a+b=2,從而a=b=1,
          f(x)=lg
          2x
          1+x
          (4分)
          (2)由不等式f(x)≤lgt,
          lg
          2x
          1+x
          ≤lgt⇒
          (2-t)x-t
          1+x
          ≤0
          2x
          1+x
          >0
          (6分)
          由于解集A⊆(0,4],故0<t<2,(7分)
          所以A=(0,
          t
          2-t
          ]⊆(0,4]
          t
          2-t
          ≤4⇒t≤
          8
          5
          ,(8分)
          又因為0<t<2,所以實數(shù)t的取值范圍是(0,
          8
          5
          ]
          (10分)
          (3)由lg
          2x
          1+x
          =lg(8x+m)
          2x
          1+x
          =8x+m
          2x
          1+x
          >0
          8x2+(6+m)x+m=0
          x<-1或x>0
          (12分)
          方程的解集為∅,故有兩種情況:
          ①方程8x2+(6+m)x+m=0無解,即△<0,得2<m<18(14分)
          ②方程8x2+(6+m)x+m=0有解,兩根均在[-1,0]內(nèi),g(x)=8x2+(6+m)x+m
          △≥0
          g(-1)≥0
          g(0)≥0
          -1≤
          -6-m
          16
          ≤0
          m≤2或m≥18
          -6≤m≤10
          ⇒0≤m≤2
          (17分)
          綜合①②得實數(shù)m的取值范圍是0≤m<18(18分)
          點評:本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì),及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用,其中(1)的關(guān)鍵是根據(jù)已知構(gòu)造一個關(guān)于a,b方程組,(2)的關(guān)鍵是根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將已知中的不等式轉(zhuǎn)化為一個分式不等式,(3)的關(guān)鍵是利用對數(shù)的性質(zhì),將已知的方程轉(zhuǎn)化為一個x的分式方程組.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3-
          3
          2
          ax2-(a-3)x+b

          (1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實數(shù)a,b的值:
          (2)當a<3時,令g(x)=
          f′(x)
          x
          ,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          2
          x2-alnx
          的圖象在點P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
          (1)求出函數(shù)y=f(x)的表達式和切線l的方程;
          (2)當x∈[
          1
          e
          ,e]
          時(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
          12
          x2+a
          (a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點的橫坐標為1.
          (1)求直線l的方程及a的值;
          (2)當k>0時,試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個數(shù).

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          13
          x3+x2+ax

          (1)討論f(x)的單調(diào)性;
          (2)設(shè)f(x)有兩個極值點x1,x2,若過兩點(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點在曲線y=f(x)上,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x3-
          32
          ax2+b
          ,a,b為實數(shù),x∈R,a∈R.
          (1)當1<a<2時,若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
          (2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
          (3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點的個數(shù).

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