Question

已知點M（-8，0），點P，Q分別在x，y軸上滑動，且

MQ

⊥

PQ

，若點N為線段PQ的中點．
（1）求動點N的軌跡C的方程；
（2）點H（-1，0），過點H做直線l交曲線C于A，B兩點，且

HA

=λ

HB

（λ＞1），點A關于x軸的對稱點為D，已知點F（1，0），求證：

FD

=-λ

FB

；
（3）過點F（1，0）的直線交曲線C于E，K兩點，點E關于x軸的對稱點為G，求證：直線GK過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用直接法來求動點N的軌跡方程．設出動點N的坐標，根據(jù)

MQ

⊥

PQ

，得到N點坐標滿足的關系式，化簡即可得到動點N的軌跡C的方程．
（2）設出A，B點的坐標，根據(jù)

HA

=λ

HB

（λ＞1），可得A，B坐標的關系，根據(jù)直線l過點H（-1，0），設出直線AB的方程，代入拋物線方程，求x₁x₂，代入

FD

=-λ

FB

的左右兩邊，驗證即可．
（3）設出過點F（1，0）的直線方程，求E，F(xiàn)兩點的縱坐標之積y₃y₄，求出點E關于x軸的對稱點G點坐標，用此表示直線GK方程，根據(jù)前面所求y₃y₄的值，即可化簡直線GK方程，再判斷是否過定點．

解答：解：（1）設N（x，y），則P（2x，0），Q（0，2y），

MQ

=(8 ， 2y)，

PQ

=(-2x ， 2y)．
∵

MQ

⊥

PQ

，∴-16x+4y²=0．
∴動點N的軌跡方程為y²=4x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則D（x₁，-y₁）．
由

HA

=λ

HB

，知（x₁+1，y₁）=λ（x₂+1，y₂），
即

x1+1=λ(x1+1)① y1=λy2②

要證明

FD

=-λ

FB

，只要證明（x₁-1，-y₁）=-λ（x₂-1，y₂），
即只要證明

x1-1=-λ(x1-1)③ y1=-λy2 ④

由②知④成立．由①知，要證③，只要證x1-1=-

x1+1

x2+1

(x2-1)．
只要證（x₁-1）（x₂+1）+（x₁+1）（x₂-1）=0，只要證x₁x₂=1．
∵AB過點H（-1，0），∴可設直線AB的方程為y=k（x+1），
代入y²=4x，并整理得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
由韋達定理，知x1x2=

k2

k2

=1．
∵③，④都成立，∴

FD

=-λ

FB

．
（3）設E(

y 2 3

4

 ， y3)，E(

y 2 4

4

 ， y4)，則
直線EK的方程為 4x-（y₃+y₄）y+y₃y₄=0．
∵EK過點F（1，0），∴4-0+y₃y₄=0，∴y₃y₄=-4．
∵G與E關于x軸對稱，∴G(

y 2 3

4

 ， -y3)．
∴直線GK的方程為4x-（-y₃+y₄）y-y₃y₄=0，
∵y₃y₄=-4，∴GK的方程為4x-（-y₃+y₄）y+4=0，
∴直線GK過定點（-1，0）．

點評：本題主要考查了直接法求軌跡方程，以及直線與圓錐曲線關系的判斷．