Question

若對于定義在R上的函數(shù)f （x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R），使得對任意實(shí)數(shù)x都有 f （x+λ）+λf （x）=0成立，則稱f （x） 是一個“λ-伴隨函數(shù)”，有下列關(guān)于“λ-伴隨函數(shù)”的結(jié)論：
①f （x）=0 是常數(shù)函數(shù)中唯一個“λ-伴隨函數(shù)”；
②f （x）=x²是一個“λ-伴隨函數(shù)”；
③“

1

2

-伴隨函數(shù)”至少有一個零點(diǎn)；
④f（x）=log₂x是一個“λ-伴隨函數(shù)”
其中正確的序號是

③

．

Answer 1

分析：設(shè)f（x）=C，得到（1+λ）C=0，當(dāng)λ=-1時，C可以取遍實(shí)數(shù)集，由此可判斷①的正誤；假設(shè)f（x）=x²是一個“λ-同伴函數(shù)”，則有λ+1=2λ=λ²=0，解方程可判斷②的正誤；令x=0，可得f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．由此可判斷③的正誤；由f（x）=log₂x的定義域不是R可判斷④的正誤．

解答：解：設(shè)f（x）=C是一個“λ-同伴函數(shù)”，則（1+λ）C=0，
當(dāng)λ=-1時，C可以取遍實(shí)數(shù)集，
因此f（x）=0不是唯一一個常值“λ-同伴函數(shù)”．故①錯誤；
用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個“λ-同伴函數(shù)”，
則（x+λ）²+λx²=0，即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實(shí)數(shù)x成立，
所以λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，所以f（x）=x²不是一個“λ-同伴函數(shù)”．故②錯誤；
令x=0，得f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0．所以f（

1

2

）=-

1

2

f（0）．
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；
若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

（f（0））2＜0．
又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，
所以f（x）在（0，

1

2

）上必有實(shí)數(shù)根．
因此任意的“

1

2

-同伴函數(shù)”必有根，即任意“

1

2

-同伴函數(shù)”至少有一個零點(diǎn)，故③正確；
因?yàn)閒（x）=log₂x的定義域不是R．故④錯誤．
故答案為：③．

點(diǎn)評：本題考查命題的真假判斷，是中檔題．解題時要認(rèn)真審題，注意新定義的合理運(yùn)用．