Question

若函數(shù)f（x），g（x）都在區(qū)間I上有定義，對任意x∈I，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，則稱函數(shù)f（x），g（x）為區(qū)間I上的“伙伴函數(shù)”．
（1）若f（x）=lgx，g（x）=lg（x+1）為區(qū)間[m，+∞）上的“伙伴函數(shù)”，求m的范圍．
（2）判斷f（x）=4^x，g（x）=2^x-1是否為區(qū)間（-∞，0]上的“伙伴函數(shù)”？
（3）若f（x）=x²+

1

2

，g（x）=kx為區(qū)間[1，2]上的“伙伴函數(shù)”，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“伙伴函數(shù)”的定義，列出|f（x）-g（x）|=|lgx-lg（x+1）|≤1，解出即可得；
（2）根據(jù)定義，判斷|f（x）-g（x）|=|4^x-2^x+1|=|t²-t+1|是否對于t=2^x∈（0，1]恒成立，利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解即可；
（3）根據(jù)“伙伴函數(shù)”的定義，|f（x）-g（x）|=|x²+

1

2

-kx|≤1在x∈[1，2]時恒成立，轉(zhuǎn)化成-1≤x²+

1

2

-kx≤1在x∈[1，2]的恒成立問題，利用參變量分離法轉(zhuǎn)化即可求解．

解答：解：（1）由已知|f（x）-g（x）|=|lgx-lg（x+1）|=|lg

x

x+1

|≤1
所以-1≤lg

x

x+1

≤1，解得x≥

1

9

，從而m≥

1

9

，
（2）由已知|f（x）-g（x）|=|4^x-2^x+1|=|t²-t+1|，其中t=2^x∈（0，1]，
由二次函數(shù)的圖象可知，當t∈（0，1]時，y=t²-t+1∈[

3

4

，1]，
所以|f（x）-g（x）|≤1恒成立，所以它們是“伙伴函數(shù)”
（3）由已知|f（x）-g（x）|=|x²+

1

2

-kx|≤1在x∈[1，2]時恒成立．
即-1≤x²+

1

2

-kx≤1在x∈[1，2]時恒成立，分離參數(shù)可得，

k≥x- 1 2x k≤x+ 3 2x

在x∈[1，2]時恒成立，
所以

k≥(x- 1 2x )max k≤(x+ 3 2x )min

函數(shù)y=x-

1

2x

在x∈[1，2]時單調(diào)遞增，所以其最大值為2-

1

4

=

7

4

，
函數(shù)y=x+

3

2x

≥2

x• 3 2x

=

6

，可知其最小值為

6

，
所以

7

4

≤k≤

6

．

點評：本題考查了學生分析題意，理解題意的能力，同時涉及了有關函數(shù)恒成立的問題，主要是利用參變量分離的方法處理，將問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值．屬于中檔題．