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        1. 若函數(shù)f(x),g(x)都在區(qū)間I上有定義,對(duì)任意x∈I,都有|f(x)-g(x)|≤1成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x),g(x)為區(qū)間I上的“伙伴函數(shù)”.
          (1)若f(x)=lgx,g(x)=lg(x+1)為區(qū)間[m,+∞)上的“伙伴函數(shù)”,求m的范圍.
          (2)判斷f(x)=4x,g(x)=2x-1是否為區(qū)間(-∞,0]上的“伙伴函數(shù)”?
          (3)若f(x)=x2+
          12
          ,g(x)=kx為區(qū)間[1,2]上的“伙伴函數(shù)”,求k的取值范圍.
          分析:(1)根據(jù)“伙伴函數(shù)”的定義,列出|f(x)-g(x)|=|lgx-lg(x+1)|≤1,解出即可得;
          (2)根據(jù)定義,判斷|f(x)-g(x)|=|4x-2x+1|=|t2-t+1|是否對(duì)于t=2x∈(0,1]恒成立,利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解即可;
          (3)根據(jù)“伙伴函數(shù)”的定義,|f(x)-g(x)|=|x2+
          1
          2
          -kx|≤1在x∈[1,2]時(shí)恒成立,轉(zhuǎn)化成-1≤x2+
          1
          2
          -kx≤1在x∈[1,2]的恒成立問(wèn)題,利用參變量分離法轉(zhuǎn)化即可求解.
          解答:解:(1)由已知|f(x)-g(x)|=|lgx-lg(x+1)|=|lg
          x
          x+1
          |≤1
          所以-1≤lg
          x
          x+1
          ≤1,解得x≥
          1
          9
          ,從而m≥
          1
          9

          (2)由已知|f(x)-g(x)|=|4x-2x+1|=|t2-t+1|,其中t=2x∈(0,1],
          由二次函數(shù)的圖象可知,當(dāng)t∈(0,1]時(shí),y=t2-t+1∈[
          3
          4
          ,1],
          所以|f(x)-g(x)|≤1恒成立,所以它們是“伙伴函數(shù)”
          (3)由已知|f(x)-g(x)|=|x2+
          1
          2
          -kx|≤1在x∈[1,2]時(shí)恒成立.
          即-1≤x2+
          1
          2
          -kx≤1在x∈[1,2]時(shí)恒成立,分離參數(shù)可得,
          k≥x-
          1
          2x
          k≤x+
          3
          2x
          在x∈[1,2]時(shí)恒成立,
          所以
          k≥(x-
          1
          2x
          )max
          k≤(x+
          3
          2x
          )min

          函數(shù)y=x-
          1
          2x
          在x∈[1,2]時(shí)單調(diào)遞增,所以其最大值為2-
          1
          4
          =
          7
          4

          函數(shù)y=x+
          3
          2x
          ≥2
          x•
          3
          2x
          =
          6
          ,可知其最小值為
          6
          ,
          所以
          7
          4
          ≤k≤
          6
          點(diǎn)評(píng):本題考查了學(xué)生分析題意,理解題意的能力,同時(shí)涉及了有關(guān)函數(shù)恒成立的問(wèn)題,主要是利用參變量分離的方法處理,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)求最值.屬于中檔題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a.其中a∈R且a≠0.
          (Ⅰ)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在x軸上,求a的值;
          (Ⅱ)若函數(shù)f(x)與g(x)圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),試問(wèn):△OAB的面積S有沒(méi)有最值?如果有,求出最值及所對(duì)應(yīng)的a的值;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          (Ⅲ)若p和q是方程f(x)-g(x)=0的兩根,且滿足0<p<q<
          1a
          ,證明:當(dāng)x∈(0,p)時(shí),g(x)<f(x)<p-a.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          若函數(shù)f(x)與g(x)=2-x互為反函數(shù),則f(x2)的單調(diào)遞增區(qū)間是
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2012•福州模擬)已知函數(shù)f(x)=-x2+2lnx.
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值;
          (Ⅱ)若函數(shù)f(x)與g(x)=x+
          a
          x
          有相同極值點(diǎn),
          (i)求實(shí)數(shù)a的值;
          (ii)若對(duì)于“x1,x2∈[
          1
          e
          ,3],不等式
          f(x1)-g(x2)
          k-1
          ≤1恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=ax2+ax和g(x)=x-a.其中a∈R且a≠0.
          (1)若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在x軸上,求a的值;
          (2)若函數(shù)f(x)與g(x)圖象相交于不同的兩點(diǎn)A、B,O為坐標(biāo)原點(diǎn),試問(wèn):△OAB的面積S有沒(méi)有最值?如果有,求出最值及所對(duì)應(yīng)的a的值;如果沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          若函數(shù)f(x),g(x)分別為R上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足f(x)-g(x)=πx,請(qǐng)將f(3),f(4),g(0)按從大到小的順序排列
           

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          同步練習(xí)冊(cè)答案