Question

(本小題滿分l2分)

已知函數(shù)

（1）若，求函數(shù)的極小值；

（2）設(shè)函數(shù)，試問：在定義域內(nèi)是否存在三個不同的自變量使得的值相等，若存在，請求出的范圍，若不存在，請說明理由？

 

Answer 1

【答案】

（1）極小值   （2）不存在

【解析】

試題分析：（I）由已知得， 

則當(dāng)時，可得函數(shù)在上是減函數(shù)，

當(dāng)時，可得函數(shù)在上是增函數(shù)，

故函數(shù)的極小值為；

(Ⅱ)若存在，設(shè)，則對于某一實數(shù)，方程在上有三個不同的實數(shù)根，設(shè)，

則有兩個不同的零點，即關(guān)于的方程有兩個不同的解

，

則，

設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，

則當(dāng)時，即，

又，則故在上是增函數(shù)，

則至多只有一個解，故不存。

方法二：關(guān)于方程的解，

當(dāng)時，由方法一知，此時方程無解；

當(dāng)時，可以證明是增函數(shù)，此方程最多有一個解，故不存在。

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；極值；函數(shù)的零點．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．