Question

（09年朝陽區(qū)二模理）（14分）

已知函數(shù)．

(Ⅰ)求函數(shù)的最小值；

(Ⅱ)求證：；

(Ⅲ)對于函數(shù)與定義域上的任意實數(shù)，若存在常數(shù)，使得和都成立，則稱直線為函數(shù)與的“分界線”.設函數(shù)，，與是否存在“分界線”？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：(Ⅰ)解：因為，令，解得，

令，解得，

所以函數(shù)在上遞減，上遞增，

所以的最小值為．                   ………………………3分

(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)知函數(shù)在取得最小值，所以，即

兩端同時乘以得，把換成得，當且僅當時等號成立．

由得，，， ，…

         ，．

將上式相乘得

．………………………9分

（Ⅲ）設.

    則．

   所以當時，；當時，．

因此時取得最小值0，則與的圖象在處有公共點．

設與存在 “分界線”，方程為.

由在恒成立，

則在恒成立.

所以成立.因此.

下面證明成立.

 設，.

 所以當時，；當時，.

        因此時取得最大值0，則成立.

所以，.                          ………………………14分