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        1. 設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足條件:①當x∈R時,f(x-4)=f(2-x),且x≤f(x)≤
          12
          (1+x2)
          ;②f(x)在R上的最小值為0.
          (1)求f(1)的值及f(x)的解析式;
          (2)若g(x)=f(x)-k2x在[-1,1]上是單調函數(shù),求k的取值范圍;
          (3)求最大值m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x.
          分析:(1)有條件得1≤f(1)≤
          1
          2
          (1+12)=1
          ,求出f(1)=1,再由條件求出函數(shù)的對稱軸,由函數(shù)的最小值列出方程求出a、b、c的值,代入解析式化簡即可;
          (2)由(1)求出g(x)化簡后,求出函數(shù)的對稱軸,再由二次函數(shù)的單調性和條件列出不等式,求出k的值;
          (3)先假設存在,對f(x)配方后,再由分離常數(shù)法把條件轉化為:
          t≥(-x-2
          x
          -1)
          max
          t≤(-x+2
          x
          -1)
          min
          ,判斷出函y =-x-2
          x
          -1
          的單調性,求出最大值和最小值,結合t求出m的最大值.
          解答:解:(1)∵x≤f(x)≤
          1
          2
          (1+x2)
          在R上恒成立,
          1≤f(1)≤
          1
          2
          (1+12)=1
          ,即f(1)=1
          ∵f(x-4)=f(2-x),∴函數(shù)圖象關于直線x=-1對稱,
          -
          b
          2a
          =-1,b=2a

          ∵f(1)=1,∴a+b+c=1
          又∵f(x)在R上的最小值為0,
          ∴f(-1)=0,即a-b+c=0,
          b=2a
          a+b+c=1
          a-b+c=0
          ,解得
          a=c=
          1
          4
          b=
          1
          2

          f(x)=
          1
          4
          x2+
          1
          2
          x+
          1
          4
          ;
          (2)由(1)得,g(x)=f(x)-k2x=
          1
          4
          [x2-2(2k2-1)x+1]
          ,
          ∴g(x)對稱軸方程為x=2k2-1,
          ∵g(x)在[-1,1]上是單調函數(shù),
          ∴2k2-1≤-1或2k2-1≥1,
          解得k≥1或k≤-1或k=0,
          ∴k的取值范圍是k≥1或k≤-1或k=0.
          (3)假設存在t∈R滿足條件,
          由(1)知f(x)=
          1
          4
          x2+
          1
          2
          x+
          1
          4
          =
          1
          4
          (x+1)2

          ∴f(x+t)≤x?(x+t+1)2≤4x且x∈[1,m],
          ?
          t≥-x-2
          x
          -1
          t≤-x+2
          x
          -1
          在[1,m]上恒成立?
          t≥(-x-2
          x
          -1)
          max
          t≤(-x+2
          x
          -1)
          min

          y =-x-2
          x
          -1
          在[1,m]上遞減,
          (-x-2
          x
          -1)max=-4
          ,
          y =-x+2
          x
          -1
          在[1,m]上遞減,
          (-x+2
          x
          -1)min=-m+2
          m
          -1=-(
          m
          -1)2

          -4≤t≤-(
          m
          -1)2
          ,∴-(
          m
          -1)2≥-4
          ,(
          m
          -1)2≤4

          ∵m>1,∴
          m
          -1≤2
          ,
          ∴m≤9,∴m的最大值為9.
          點評:本題考查了二次函數(shù)的性質的綜合應用,待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式,以及分離常數(shù)法處理恒成立問題,第(3)問出現(xiàn)了兩個未知數(shù),注意結合點,考查了轉化思想,難度較大.
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          x+12
          )
          2

          (1)求f(1)的值;
          (2)求證:a>0,c>0;
          (3)當x∈(-1,1)時,函數(shù)g(x)=f(x)-mx,m∈R是單調的,求m的取值范圍.

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          1
          a
          ,且函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=x0對稱,則有( 。
          A、x0
          x1
          2
          B、x0
          x1
          2
          C、x0
          x1
          2
          D、x0
          x1
          2

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          設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)滿足:當x=1時,f(x)取得最小值1,且f(0)=
          32

          (1)求a、b、c的值;
          (2)是否存在實數(shù)m,n,使x∈[m,n]時,函數(shù)的值域也是[m,n]?若存在,則求出這樣的實數(shù)m,n;若不存在,則說明理由.

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          設二次函數(shù)f(x)=x2+x+a(a>0),若f(m)<0,則有( 。

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