Question

已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，一個長軸端點(diǎn)為，短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且。（14分）

(1)求橢圓的方程；

(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）-1<m<或<m<1

【解析】

試題分析：（1）∵一個長軸端點(diǎn)為，所以，且焦點(diǎn)在y軸上，

因?yàn)槎梯S端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，所以，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052510414842281697/SYS201305251042356572856221_DA.files/image007.png">，所以，所以橢圓方程為.

（2）(1)當(dāng)直線斜率不存在時，不符題意，斜率為0時顯然也不符題意；

設(shè)，

由，

∴，

設(shè)，，，

所以，，

所以，所以， 消去得，

又，∴，

∴， ∴<0， ∴-1<m<或<m<1.

考點(diǎn)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.

點(diǎn)評：求解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，免不了要聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，此時一般運(yùn)算量比較大，綜合考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.