Question

（2013•廣州三模）已知等比數(shù)列{a_n}的公比q≠1，a₁=32，且2a₂、3a₃、4a₄成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得2a₂+4a₄=6a₃，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a₁q+2a₁q³=3a₁q²．解方程可求首項(xiàng)a₁，公比q，進(jìn)而可求通項(xiàng)
（2）由（1）可求a_n=2^6-n，b_n=log₂2^6-n=6-n．則有|bn|=|6-n|=

6-n  1≤n≤6 n-6  n≥7.

，從而分1≤n≤6及n≥7兩種情況分別對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和即可

解答：解：（1）因?yàn)?a₂、3a₃、4a₄成等差數(shù)列，
所以2a₂+4a₄=6a₃，即a₁q+2a₁q³=3a₁q²．
因?yàn)閍₁≠0，q≠0，所以2q²-3q+1=0，即（q-1）（2q-1）=0．
因?yàn)閝≠1，所以q=

1

2

．所以an=a1qn-1=32×(

1

2

)n-1=26-n．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^6-n（n∈N^*）．
（2）因?yàn)閍_n=2^6-n，所以b_n=log₂2^6-n=6-n．
所以|bn|=|6-n|=

6-n  1≤n≤6 n-6  n≥7.

當(dāng)1≤n≤6時(shí)，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=b₁+b₂+…+b_n=

n×[5+(6-n)]

2

=-

1

2

n2+

11

2

n；
當(dāng)n≥7時(shí)，T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=（b₁+b₂+…+b₆）-（b₇+b₈+…+b_n）=2（b₁+b₂+…+b₆）-（b₁+b₂+…+b_n）=2×15-(-

1

2

n2+

11

2

n)=

1

2

n2-

11

2

n+30．
綜上所述，Tn=

- 1 2 n2+ 11 2 n      1≤n≤6 1 2 n2- 11 2 n+30  n≥7.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合的基本運(yùn)算，這是數(shù)列部分最基本的類型考查，而（2）的關(guān)鍵是要對(duì)n分類討論，求解的關(guān)鍵還是等差數(shù)列的求和公式．