Question

已知m∈C，關(guān)于x的一元二次方程x²-mx+4+3i=0恒有非零實(shí)根，且當(dāng)x=a（a∈R，a≠0）時(shí)，|m|取得最小值，記z=5-|a|i，求復(fù)數(shù)•（1-bi）（b≥1）的輻角主值的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：首先寫出m的表示形式，表示出模長，根據(jù)均值不等式得到m的最小值，做出其對應(yīng)的a的值，寫出復(fù)數(shù)的表示式，對于b的取值進(jìn)行討論，根據(jù)實(shí)部和虛部的范圍，寫出幅角的范圍，表示出幅角．
解答：解：設(shè)x為非零實(shí)數(shù)，由已知可得：
|m|=|x+i|=≥=3．
當(dāng)且僅當(dāng)x=±時(shí)，|m|取最小值，|a|=．
∴z=5-5i，
∴（1-bi）=（5+5b）+（5-5b）i
①當(dāng)b=1時(shí)，（1-bi）=10，輻角主值為0．
②當(dāng)b＞1時(shí)，（1-bi）的實(shí)部大于0，虛部小于0．其輻角主值在（，2π）內(nèi)，
此時(shí)，arg〔（1-bi）〕=2π+arctg（-1）
∵b＞1，
∴-1＜-1＜0，
∴-＜arctg（-1）＜0，
∴＜arg〔（1-bi）〕＜2π．
點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的模長，考查均值不等式，考查復(fù)數(shù)的三角形式，考查幅角的主值，是一個(gè)綜合題，這種綜合題并不多見，注意這種題目的解答過程．