Question

. （本小題滿分12分）

已知定義在R上的函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，f(x)取極小值．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，圖像上是否存在兩點(diǎn)，使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直?證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：(Ⅰ) 因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

所以對(duì)任意恒成立，

即對(duì)任意恒成立，

所以恒成立，故，…………………3分

故，

又時(shí)，取極小值，所以，且，

所以………………①

……………………②

解得：，；

所以，（）…………………………………………………6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，圖像上不存在兩點(diǎn)使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直.

證明如下：（方法1，用反證法）

假設(shè)在的圖像上存在兩點(diǎn)，，使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，由(Ⅰ) 可知，且在兩點(diǎn)處的切線斜率均存在.

由假設(shè)則有，…………………………8分

從而，

另一方面，，所以，所以，

與前式顯然矛盾.所以，

當(dāng)時(shí)，圖像上不存在兩點(diǎn)使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直.………………12分

（方法2）

設(shè)，為的圖像上兩點(diǎn)，由(Ⅰ) 可知，

且在點(diǎn)和點(diǎn)處的兩條切線的斜率均存在.

不妨設(shè)在點(diǎn)處的切線斜率為，在點(diǎn)處的切線斜率為，

則 ，；………………8分

所以  ，

由題意，，

所以，即

綜上所述，當(dāng)時(shí)，圖像上不存在兩點(diǎn)使得在此兩點(diǎn)處的切線互相垂直. ……12分

解析:

略