Question

設(shè)區(qū)間（0，1）內(nèi)的實數(shù)x對應數(shù)軸上的點M（如圖），將線段AB圍成一個圓，使兩端A、B恰好重合，再將這個圓放在平面直角坐標系中，使其圓心在y軸上，點A的坐標為（0，1），射線AM與ox軸交于點N（f（x），0）根據(jù)這一映射法則可得f（x）與x的函數(shù)關(guān)系式為

f（x）=

cosπx

sinπx

，x∈（0，1）

．

Answer 1

分析：設(shè)AB圍成圓P，圓P與y軸另一個交點為C，連接CM．利用Rt△CMA∽Rt△∠NOA，得

CM

NO

=

AM

AO

…①．圓P中利用弧度制定義和直角三角形三角函數(shù)的定義，算出AM、CM關(guān)于x的表達式，結(jié)合ON=f（x），OA=1，代入①化簡，即得f（x）與x的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：設(shè)AB圍成的圓為圓P，圓P與y軸另一個交點為C，連接CM
∵AC是圓N的直徑
∴∠CMA=∠NOA=90°
∵∠CAM=∠NAO，
∴△CMA∽△∠NOA，得

CM

NO

=

AM

AO

…①
∵Rt△ACM中，直徑AC=

1

π

，2∠ACM=

弧AM

1 2 AC

=2πx
∴AM=ACsin∠ACM=

1

π

sinπx，CM=

1

π

cosπx，
而ON=f（x），OA=1，代入①得；

1 π cosπx

f(x)

=

1 π sinπx

1

∴f（x）與x的函數(shù)關(guān)系式為f（x）=

cosπx

sinπx

，x∈（0，1）
故答案為：f（x）=

cosπx

sinπx

，x∈（0，1）

點評：本題給出長度為1的線段圍成圓后放入坐標系中，求圓的弦所在直線與x軸交點坐標的表達式，著重考查了弧度制定義、三角函數(shù)的定義和三角形相似等知識，屬于基礎(chǔ)題．