Question

（1）已知定點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)N滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，，，求點(diǎn)P的軌跡方程.

（2）如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn)，

（�。┰O(shè)直線的斜率分別為、，求證：為定值；
（ⅱ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）定點(diǎn)或.

試題分析：（Ⅰ）由題意，先確定點(diǎn)N是MF₁中點(diǎn)，然后由確定|PM|=|PF₁|，從而得到|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|，再根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，即可得到點(diǎn)P的軌跡方程；（2）（�。┰O(shè)出點(diǎn)，由斜率公式得到的表達(dá)式，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，得到其為定值；（ⅱ）將以為直徑的圓上任一點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出，即設(shè)點(diǎn)，再根據(jù)過直徑的弦所對(duì)的圓周角為直角這一幾何性質(zhì)得到，從而得到點(diǎn)的軌跡方程也即以為直徑的圓的方程為
.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030902712275.png" style="vertical-align:middle;" />的系數(shù)有參數(shù)，故，從而得到圓上定點(diǎn)或.即得到所求.
試題解析：（Ⅰ）連接ON∵ ∴點(diǎn)N是MF₁中點(diǎn) ∴|MF₂|=2|NO|=2
∵ ∴F₁M⊥PN   ∴|PM|=|PF₁|
∴|∣PF₁|-|PF₂∣|=||PM|-|PF₂||=|MF₂|=2＜|F₁F₂|
由雙曲線的定義可知：點(diǎn)P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的雙曲線.
點(diǎn)P的軌跡方程是  4分
（�。�，，令，則由題設(shè)可知，
直線的斜率，的斜率，又點(diǎn)在橢圓上，所以
，（），從而有.8分
（ⅱ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則，又易求得、.所以、.故有
.又，化簡(jiǎn)后得到以為直徑的圓的方程為
.
令，解得或.
所以以為直徑的圓恒過定點(diǎn)或.