Question

已知函數(shù)f（x）=a|x+1|+x（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在[b，+∞）上為增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f （x）在 R 上具有單調(diào)性，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

3x+2，x≥-1 -x-2，x＜-1

，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1，+∞），根據(jù)f（x）在[b，+∞）上為增函數(shù)，可得[b，+∞）⊆[-1，+∞），從而可求b的取值范圍；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)f(x)=

(a+1)x+a，x≥-1  (1-a)x-a ，x  ＜   -1 .

再進(jìn)行分類討論：①-1＜a＜1時(shí)，函數(shù)f （x） 在R上是增函數(shù)；②a=1或-1時(shí)，易知不合題意；③當(dāng)a＞1，a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上不具有單調(diào)性，由此可得a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

3x+2，x≥-1 -x-2，x＜-1

，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1，+∞），
因?yàn)閒（x）在[b，+∞）上為增函數(shù)，所以[b，+∞）⊆[-1，+∞），故b≥-1
（Ⅱ）化簡(jiǎn)f(x)=

(a+1)x+a，x≥-1  (1-a)x-a ，x  ＜   -1 .

①-1＜a＜1時(shí)，
當(dāng)x≥-1時(shí)，f（x）=（a+1）x+a是增函數(shù)，且f（x）≥f（-1）=-1；
當(dāng)x＜-1時(shí)，f（x）=（1-a）x-a是增函數(shù)，且f（x）＜f（-1）=-1．
所以，當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，函數(shù)f （x） 在R上是增函數(shù)．
②a=1或-1時(shí)，易知不合題意．
③當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）在[-1，+∞）為增函數(shù)，而在（-∞，-1）上為減函數(shù)，故函數(shù)f（x）在R上不具有單調(diào)性；
同理，當(dāng)a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在R上也不具有單調(diào)性．
綜上可知，a的取值范圍是 （-1，1）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，解題的關(guān)鍵是利用絕對(duì)值的幾何意義，將絕對(duì)值符號(hào)化去．