Question

【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

（1）若直線的斜率為1, 且，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若（1）中橢圓的右頂點(diǎn)為，直線的傾斜角為，問為何值時(shí)，取得最大值，并求出這個(gè)最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2） 最大值為.

【解析】

試題（1）由題可設(shè)出橢圓方程；，先利用條件離心率為，可推出的關(guān)系。再結(jié)合過點(diǎn)且的直線與橢圓方程聯(lián)立，并設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用條件，可得點(diǎn)坐標(biāo)，再代入橢圓方程，可得。

（2）可先按傾斜角為是否為直角，分別設(shè)過點(diǎn)直線方程并與（1）中的橢圓方程聯(lián)立，通過設(shè)出直線與橢圓的交點(diǎn)，再利用，建立關(guān)于的關(guān)系式，觀察可運(yùn)用均值不等式求出最大值。

試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為：

由得，又知，故

從而橢圓方程簡化為：.

直線，設(shè)

由消去得：

故 ①

由知： ②

由①②得.易知,故,將其代入橢圓方程得

因此，橢圓方程為：

（2）當(dāng)時(shí)，直線.

由得，

故

當(dāng)時(shí)，設(shè)直線，

由得

綜上可知：當(dāng)時(shí)，最大，最大值為.