Question

【題目】證明:存在無窮多個(gè)棱長為正整數(shù)的長方體,其體積恰等于對(duì)角線長的平方,且該長方體的每一個(gè)表面總可以割并成兩個(gè)整邊正方形.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

設(shè)長方體棱長為.依題意有.

問題轉(zhuǎn)化為證明方程有無窮多組正整數(shù)解(),且三數(shù)中,

任意兩數(shù)之積皆可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和.

首先,定義數(shù)列: .

引理 (1),特別地;

(2),特別地;

(3).

引理的證明:(1)令.則.

因?yàn)?/span>,

所以, ,即.

(2)對(duì)歸納:

顯然成立.

設(shè)時(shí),.當(dāng)時(shí),

,

即對(duì)成立.

所以,.

取為特例.

(3)當(dāng)時(shí),成立,

設(shè)時(shí),.

當(dāng)時(shí),因是方程的根,另一個(gè)根為

.

所以,.

故.

回到原題.由引理(3)知,是的解,

且由引理(2)、(1)得

,

,

.

所以,原方程有無窮多組正整數(shù)解(),使得三數(shù)中,

任意兩數(shù)之積皆可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和.

因此,原題結(jié)論成立.