Question

已知函數(shù)f（x）=a（x-1）+lnx；
（1）若f（x）≥0在其定義域上恒成立，求a的取值所構(gòu)成的集合；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象任意給定相異兩點(diǎn)A（x₁，f（x₁））、B（x₂，f（x₂）），其中x₁＜x₂，是否總存在x₀∈（x₁，x₂）使得f′（x₀）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

？請(qǐng)說明理由！

Answer 1

分析：（1）f（x）≥0在其定義域上恒成立轉(zhuǎn)化為f（x）_min＞0，從而可用導(dǎo)數(shù)求解f（x）的最小值．
（2）令g（x）=f′（x）-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，則問題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)g（x）在（x₁，x₂）上是否存在零點(diǎn)x₀ ，從而可利用函數(shù)存在零點(diǎn)的條件進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．f′（x）=a+

1

x

=

ax+1

x

，
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又f（1）=0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，故a≥0不合題意；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，得x=-

1

a

，當(dāng)0＜x＜-

1

a

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，-

1

a

）上單調(diào)遞增；當(dāng)x＞-

1

a

時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（-

1

a

，+∞）上單調(diào)遞減．
若-

1

a

＜1即a＜-1，則x＞1時(shí)，f（x）＜f（1）=0，故a＜-1不合題意；若-

1

a

＞1，即-1＜a＜0，則x＜1時(shí)，f（x）＜f（1）=0，故-1＜a＜0不合題意．
綜上，a的取值構(gòu)成的集合為∅．
（2）

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

[a(x1-1)+lnx1]-[a(x2-1)+lnx2]

x1-x2

=

a(x1-x2)+ln x1 x2

x1-x2

=a+

ln x1 x2

x1-x2

．
f′（x）=a+

1

x

，令g（x）=f′（x）-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=（a+

1

x

）-（a+

ln x1 x2

x1-x2

）=

1

x

-

ln x1 x2

x1-x2

．
則g（x₁）=

1

x1

-

ln x1 x2

x1-x2

=

x2( x1 x2 ln x1 x2 - x1 x2 +1)

x1(x2-x1)

，g（x₂）=

1

x2

-

ln x1 x2

x1-x2

=

x1( x2 x1 ln x2 x1 - x2 x1 +1)

x2(x1-x2)

．
令h（t）=tlnt-t+1，則h′（t）=lnt，令h′（t）=0，則t=1，當(dāng)0＜t＜1時(shí)，h′（t）＜0，h（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t＞1時(shí)，h′（t）＞1，h（t）單調(diào)遞增．
所以當(dāng)t≠1時(shí)，h（t）＞h（1）=0，從而

x1

x2

ln

x1

x2

-

x1

x2

+1＞0，

x2

x1

ln

x2

x1

-

x2

x1

+1＞0．又

x2

x1(x2-x1)

＞0，

x1

x2(x1-x2)

＜0，
所以g（x₁）＞0，g（x₂）＜0，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在[x₁，x₂]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，
所以總存在x₀∈（x₁，x₂）使g（x₀）=0，即f′（x₀）=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算能力、分析解決問題的能力，同時(shí)考查函數(shù)與方程思想．