Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，且AB=1，BC=2，∠ABC=

π

3

，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)．
（I）求證：EF∥面PCD；
（II）求證：AC⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（I）要證：EF∥面PCD，只需證明EF∥CD即可；
（II）要證：AC⊥平面PAB，只需證明AC⊥PA，AC⊥AB，即可．

解答：證明：（I）因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，
E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，
所以ED=FC，ED∥FC，
從而EFCD為平行四邊形，所以EF∥CD，
又因?yàn)镋F不在平面PCD，CD?平面PCD
所以EF∥平面PCD．
（II）因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，故PA⊥AC．
在△ABC中，AB=1，BC=2，∠ABC=

π

3

．
由余弦定理得AC=

AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC

=

1+4-2×2×2× 1 2

=

3

故AB²+AC²=BC²，∴AB⊥AC
而PA∩AB=A且AB，PA?平面PAB，∴AC⊥平面PAB

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．