Question

把正偶數(shù)數(shù)列{2n}中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三角形數(shù)表：
設(shè)a_ij（i，j∈N*）是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)．
（1）若a_mn=2008（已知45×46=2070，44×45=1980），求m，n的值；
（2）若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第n行各數(shù)的和為b_n，已知cn=

2 [ 3]bn-n+1

2n

，（n∈N^*）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（I）由題義正偶數(shù)a_n為等差數(shù)列，由圖擺放找每一行所放的數(shù)，及每一行的數(shù)字總數(shù)與本數(shù)列的每一項(xiàng)的關(guān)系即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，使得a_mn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整數(shù)解．
（II）若將n²+n看成第n行第一個(gè)數(shù)，則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，求出b_n，從而求出c_n，根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，最后利用錯(cuò)位相消法求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（I）∵三角形數(shù)表中前m行共有1+2+3+…+m=

m(m+1)

2

個(gè)數(shù)，
∴第m行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給偶數(shù)數(shù)列中的第

m(m+1)

2

項(xiàng)．
故第m行最后一個(gè)數(shù)是2•

m(m+1)

2

=m2+m（2分）
因此，使得a_mn=2008的m是不等式m（m+1）≥2008的最小正整數(shù)解．
∵f（x）=x²+x在（0，+∞）上是增函數(shù)，又∵45×46＞2008＞44×45∴m=45
于是，第45行第一個(gè)數(shù)是44²+44+2=1982∴n=

2008-1982

2

+1=14 （5分）
（II）∵第n行最后一個(gè)數(shù)是n²+n，且有n個(gè)數(shù)，若將n²+n看成第n行第一個(gè)數(shù)，
則第n行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，故bn=n(n2+n)+

n(n-1)

2

(-2)=n3+n．
∴cn=

2 3 n3+n-n +1

2 n

=

2n+1

2n

（6分）
故Sn=3×

1

2

+5×(

1

2

)2+…+(2n+1)(

1

2

)n
∵

1

2

Sn=3×(

1

2

)2+5×(

1

2

)3+…+(2n+1)(

1

2

)n+1，
兩式相減得：

1

2

Sn=3×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+2×(

1

2

)n-(2n+1)•(

1

2

)n+1
∴Sn=5-(2n+5)•

1

2n

（8分）

點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，任意兩項(xiàng)之間及項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，以及錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，另外還考查了學(xué)生的觀察與分析能力，屬于中檔題．