Question

對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意，都有，且對任意∈D，當時，恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù)．

   （1）判斷函數(shù)和是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；

   （2）設是（1）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式 對一切R恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

   （3）若函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，求和的值．

Answer 1

解：（1）對于函數(shù)，當時，．

當或時，恒成立，故是“平底型”函數(shù)． 

對于函數(shù)，當時，；當時，．

所以不存在閉區(qū)間，使當時，恒成立．故不是“平底型”函數(shù)．      

（Ⅱ）若對一切R恒成立，

則．所以．又，則．     

則，解得．故實數(shù)的范圍是．       

（Ⅲ）因為函數(shù)是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)，

則存在區(qū)間和常數(shù)，

使得恒成立．

所以恒成立，

即．解得或．        當時，．

當時，，當時，恒成立．

此時，是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)．    

當時，．

當時，，當時，．

此時，不是區(qū)間上的“平底型”函數(shù)．  綜上分析，m＝1，n＝1為所求．