Question

如圖，某市擬在道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段ABC，該曲線段為函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，＜φ＜π），x∈[-3，0]的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B（-1，3）；賽道的中間部分為千米的水平跑到CD；賽道的后一部分為以O(shè)圓心的一段圓弧．
（1）求ω，φ的值和∠DOE的值；
（2）若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，如圖所示，矩形的一邊在道路AE上，一個(gè)頂點(diǎn)在扇形半徑OD上．記∠POE=θ，求當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)θ的值．

Answer 1

解：（1）依題意，得A=3，=2，因?yàn)門(mén)=，所以ω=，所以y=3sin（x+φ）．
當(dāng)x=-1時(shí)，3sin（-+φ）=3，由＜φ＜π，得-+φ=，所以φ=．
又x=0時(shí)，y=OC=3，因?yàn)镃D=，所以∠COD=，從而∠DOE=．
（2）由（1）可知OD=OP=2，矩形草坪的面積
S=（2sinθ）（2cosθ-2sinθ）=4（sinθcosθ-sin²θ）
=4（sin2θ+cos2θ-）=4sin（2θ+）-2，
其中0＜θ＜，所以當(dāng)2θ+=，即θ=時(shí)，S最大．
分析：1）依題意，得A=3，=2，根據(jù)周期公式T=可得ω=，把B（-1，3）代入結(jié)合已知
＜φ＜π可得φ，又x=0時(shí)，y=OC=3，因?yàn)镃D=從而可得∠COD=，可求∠DOE=．
（2）由（1）可知OD=OP=2，矩形草坪的面積S=（2sinθ）2cosθ+2sinθ=4sin（2θ+）-2，有0＜θ＜，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了在實(shí)際問(wèn)題中，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數(shù)的解析式，一般步驟是：由函數(shù)的最值確定A的值，由函數(shù)所過(guò)的特殊點(diǎn)確定周期T，利用周期公式求ω，再把函數(shù)所給的點(diǎn)（一般用最值點(diǎn)）的坐標(biāo)代入求φ，從而求出函數(shù)的解析式；還考查了實(shí)際問(wèn)題中的最值的求解．關(guān)鍵是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)求解．